【学びなおす算数/小林道正】「かけ算の順序問題」をどう考える？

こんにちは、はてはてマンボウです。

今回の内容は……

算数

梓

はて～マンボウちゃん、数字は苦手マボよ……

今回紹介する本は、そんな数字が苦手な人にこそ、算数に関する理解が深めるためにおススメなんだ！

梓

1 学びなおす算数
2 掛け算の意味
3 分数は「整数の除法の結果」ではない！
4 累乗の計算
5 まとめ
6 参考資料

学びなおす算数

小林道正(2021)『学びなおす算数』（ちくま新書）

小学校のかけ算・わり算から確率論など、算数・数学に関する基本的な考え方について丁寧に解説しているのが、この『学びなおす』算数。

梓

か、確率論……そんな難しい内容、マンボウちゃんにわかるかしら。

読んでみると、「モンティ・ホール問題」を取り上げるなど、マニアックな内容が多いのも確かだね。

でも、前半部分のかけ算・わり算などに関する部分を読むだけでも、算数に関する教養が深まっておススメだよ。

というわけで、この記事では比較的とっつきやすい内容を見ていこう。

梓

掛け算の意味

かけ算の順序問題

かけ算の順序問題？　はて……

いわゆる算数の文章題で、かけ算の順序を入れ替えていいのか、という問題だね。

たとえば、
「３冊の本を５人に分けるとき、何冊の本がいりますか」
という問いに対して、

「回答が３×５＝15でも５×３＝15でも、どっちでもいい」
というのと、

「いや、文章の順番を守って３×５＝15だけを認めるべきだ」
という考えが対立することがある。

梓

例えば、1つぶんの数×いくつ分で求まるかけ算の文章問題では、

「6人のこどもに、1人4こずつみかんをあたえたい。みかんはいくつあればよいでしょうか。」

という設問に対する、

「（しき）6 × 4 = 24（こたえ）24 個」

という解答を不正解にすべきかどうかが問題となる。

日本の小学校では、1つぶんの数×いくつ分の順序で書かれている式のみを正解とする採点方針が散見され、式を不正解とし答えを正解とすることがある。

（中略）

日本の小学生向け教科書、学習参考書に例示されている式は

「1つぶんの数×いくつ分」

の順序にほぼ統一されている。

逆の順序に書かれた式を不正解とみなす記述は、

各社の教科書指導書および一部の教科書・学習参考書に見られる。

しかし、文部科学省による学習指導要領および指導要領解説では順序は規定されておらず、

文部科学省は新聞の取材に対して採点方針は学校現場に裁量があるとしている。

wikipedia「かけ算の順序問題」より

（2021年４月１日閲覧）

ひょええ～wikipediaでも長々と取り上げられています！

ネットでも定期的に関連記事がまとめられるトピックスだね。

さて、『学びなおす算数』を通すと、この問題にどのような回答を与えられるだろうか。

梓

掛け算の交換法則

さて、少し話題は変わるけど、『学びなおす算数』ではこんな話が出てくる。

梓

掛け算を「足し算の繰り返しである」と考えている方は少なくないようです。

（中略）

しかし、掛け算を累加だけで認識してしまうと、あとで困ることになります。

次のような子どもの質問の答えに窮することになるでしょう。

「４×0.5とか４×1/2は掛け算なのに、何で量が小さくなるの？」

「４に０をかけると、なぜ答えが０になるの？　４を０回足しても４じゃないか」

たしかに、答えられないマボ～はて～

そこで、かけ算における「交換法則」というものが出てくる。

梓

交換法則、はて。

かけ算は順番を入れ替えても答えは一緒っていう考え方。

a×b＝b×aと習ったことかと思う。

梓

（「４×0.5とか４×1/2は掛け算なのに、何で量が小さくなるの？」

「４に０をかけると、なぜ答えが０になるの？　４を０回足しても４じゃないか」

に対し……）

これらは、掛け算の交換法則で説明できます。

４×0.5＝0.5×４であり、４×０＝０×４です。

「計算の順序を逆にしたらどう？」で、素朴な疑問は解決です。

それ以上の説明は不要なのではないでしょうか。

あ、あっさりマボねえ……

「それ以上の説明は不要なのではないでしょうか」というところに本質が詰まっているように思う。

数学的な定義は決まっているのに、それ以上議論の余地はない。

実際、小林さんは別の著書の『数とは何か』でも、

「特定の順序で書かなくてはならないと思う人が多くて困る」

という内容のことを言っている。

しかし、「いやいやそれでも」と反論する人は多い。詳しい議論の経緯は、wikipediaが調べやすいので興味がある人は一度読んでみてね。

梓

九九を全て覚える必要はない

さて、「交換法則」を念頭に置くと、九九を全て覚える必要もないというのがわかる。

梓

な、なんと～

小学校で一生懸命覚えてきたのはなんだったマボか～

たとえば、

「に・さん・が・ろく（２×３＝６）」を覚えたら、

「さん・に・が・ろく（３×２＝６）」を覚える必要はない。

前後を入れ替えればいいだけだからね。

これは計算力を身につけることにもつながるとされている。

梓

一般的に「小さい数×大きい数」のほうが覚えやすいでしょう。

また１の段も省いてしまえば、81個ではなく36個だけ覚えれば足りてしまいます。

分数は「整数の除法の結果」ではない！

はて、また難しいタイトルが……

「分数」「整数」は意味が分かるよね。
「除法」はわり算のこと。

わり算をしたときに出てくるのが、「商」と「余り」だね。

たとえば、
５÷３＝１余り２
となる。

ここでは、答えの「１」が商、「２」が余りだね。

梓

ということは……

「分数」と「整数のわり算の答え」は意味が違うよ、とここでは言っている。

梓

（前略）文部科学省「学習指導要領解説」の第４学年の解説に次のような記述がありました。

「分数の意味は、その観点の置き方によって様々なとらえかたができる」

といって、2/3を例にいくつか例示しているのですが、その５番目の

「整数の除法「２÷３」の結果（商）を表す」

というものです。

これは数学的には、まったく間違った記述です。

あら、なんだか強い主張がありそうマボねえ……

分数が除法の結果（商）であるなどと認めると、おかしなことが起こってきます。

11÷３は、商が３で余りが２であり、22÷６は、商が３で余りが４となります。

余りが異なるので、異なった割り算です。

しかし、分数で表すと、11/3=22/6が成り立っています。

分数で考えれば、
「11/3=22/6」
で一緒になる。

だけど、わり算（除法）で考えると、
・11÷３＝３余り２
・22÷６＝３余り４
で、これらは違うものだ。

梓

違う事実を書いたらいけません、という指摘だったマボね。

ちなみに、わり算の定義はこうなっているらしい。

興味のある人はどうぞ。

梓

なお、数学的な整数の除法は、次の原理にもとづく定理（除法の原理）によります。

「aを任意の整数とする。

b＞０も整数とする。

このとき、次の式が成り立つ整数qとrが、ただ１組存在する。

a=qb+r　　0≦r＜b　　」

累乗の計算

最後は、累乗の計算マボか。

累乗……はて、思い出せない。

同じ数を右肩にある回数だけかけていく計算。

たとえば３⁴だと、３を４回かけるから、
３⁴＝81

梓

たしかに、そんな話題あった気がするマボ！
思い出してきたマボよ～ひっひっひ

さて、『学びなおす算数』では、累乗に関してこんな話題が。

梓

累乗の計算について、ほとんどの人はaⁿなら、aをn回かけると記憶しています。

たとえば、2⁴＝16なら「２を４回かけること！」という具合です。

（中略）

2⁴の計算を、２を４回かけるとしか理解していないのでは、

子どもから「０乗は何で１なの？」と質問されて、おそらく答えらえないと思います。

たしかに、

「とにかく、０乗は１だって覚えなさい！」

と無理やり暗記させられたような……

いちばん簡単な説明方法としては、

「累乗の計算は、先頭に１が隠れている」

あるいは「２⁴で、２を４回かけるために、先頭に１をおけばよい」

という言い方です。

２⁴＝１×２×２×２×２ということです。

こうすれば、２⁴は、１に２を４回かけることができます！

ここが理解できれば、０乗の説明も簡単です。

２⁴以下、２³、２²、２¹、と順番に見ていきましょう。

２⁴＝１×２×２×２×２

２³＝１×２×２×２

２²＝１×２×２

２¹＝１×２

２⁰＝１

１に２を０回かけるというのは、何もかけないと同じことですから、２⁰＝１となるわけです。